Alumni-Preis 2018

Betreuer: Prof. Dr. Stefan Rotter

Kurzzusammenfassung der Arbeit:

Auf dem Weg zu einem tieferen Verständnis der Funktionsweise neuronaler Netzwerke im Gehirn werden in den theoretischen Neurowissenschaften mathematische Modelle spikender Neurone verwendet. Diese sogenannten leaky integrate-and-fire (LIF) Neurone integrieren einen Eingangsstrom, bis sie einen Schwellwert erreichen, woraufhin sie Aktionspotentiale („Spikes“) feuern und auf ihren Anfangswert zurückgesetzt werden. Im Netzwerk ergibt sich der Eingangsstrom als gewichtete Summe der Spikes aller anderen Neurone. Für große Netzwerke bietet es sich daher an, den tatsächlichen Eingang durch eine stochastischen Prozess mit ähnlicher Statistik zu ersetzen (ein sog. Mean Field). Existierende Mean Field Theorien dieser Art modellieren den Eingang als weißes Rauschen, vernachlässigen also die zeitliche Komponente der Statistik. Diese jedoch – so zeigt eine aktuelle Debatte zu möglichen dynamischen Regimen – auf Netzwerkebene nicht zu vernachlässigen ist.

In meiner Masterarbeit habe ich eine analytische Theorie entwickelt, die die Aktivität von LIF Neuronen beschreibt, welche mit farbigen Rauschen angetrieben werden. Komplexe Autokorrelationsfunktionen werden mit Hilfe eines multidimensionalen Ornstein-Uhlenbeck Prozesses modelliert (sog. Markov Embedding). Um das System zu lösen, wird das stochastische Differenzalgleichungssystem in eine Fokker-Planck Gleichung transformiert, deren Lösungen aus bi-orthogonalen Eigenfunktionen konstruiert werden. Koeffizienten für diese Lösungen werden numerisch berechnet.

Die in Rahmen der Masterarbeit herausgearbeitete Theorie stellt einen wichtigen Schritt hin zu einer selbstkonsistenten Mean Field Theorie mitsamt Kovarianzstruktur dar. Anhand der expliziten Form kann die Struktur und Stabilität stationärer Lösungen untersucht werden, und so langfristig ein besserer Einblick in die Dynamik biologischer neuronaler Netze erhalten werden.