Theorie finiter Quantentröge

Schrödinger Gleichung für finite Quantentröge der Tiefe $V_{0}$ und Breite $a$ (Abb. 2.6):

$$\left( \frac{-\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x) \right) \psi(x) = E \psi(x)$$ (27)

$$\mbox{mit Potential} \; V(x)=\left\{ \begin{array}{ll} V_{0} & x>\frac{a}{2} \\ 0 & -\frac{a}{2}\leq x \leq \frac{a}{2}\\ V_{0} & x<-\frac{a}{2} \end{array}\right.$$ (28)

Exponentielle Penetration der Potentialwand als Randbedingung an die Wellenfunktion $\psi(x)$ für Quadratintegrabilität, die Phase $\varphi$ ist dabei nur bis auf $n\pi$ bestimmt:

$$\psi(x)=\left\{ \begin{array}{ll} A_{1}\cdot e^{-\kappa_{1}x... ..._{3}\cdot e^{\kappa_{2}x} & x<-\frac{a}{2} \end{array} \right.$$ (29)

Forderung: Differenzierbarkeit der Wellenfunktion $\psi(x)$

$$\Rightarrow \; \left\{ \begin{array}{ll} \left. \frac{\psi^... ...=k\frac{a}{2}+\arctan{\frac{k}{\kappa_{2}}} \end{array}\right.$$ (30)

Kombination der Bedingungen:

$$n\pi-ka=\arctan{\frac{k}{\kappa_{1}}}+\arctan{\frac{k}{\kappa_{2}}}$$

$$\stackrel{\kappa_{1}=\kappa_{2}}{\Rightarrow} tan(k\frac{a}{2})=-\frac{k}{\kappa}$$ (31)

Somit folgt für den symmetrischen Grundzustand des finiten QW:

$$E(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m^{*}} & -\f... ... \\ V_{0}-\frac{\hbar^{2}\kappa^{2}}{2m^{*}} & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (32)

$$\Rightarrow k^{2}+\kappa^{2}=\frac{2m^{*}E}{\hbar^{2}}+\frac{2m^{*}(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}=\frac{2m^{*}V_{0}}{\hbar^{2}}$$ (33)

Benutze den Satz von Pythagoras ($\varphi=0$ wg. Symm.):

$$\cos(k\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{E_{1}}{V_{0}}}=\cos(\sqrt{\frac{2m^{*}E_{1}}{\hbar^{2}}}\frac{a}{2})$$ (34)

Die Energieniveaus sind Lösung dieser transzendenten Gleichung, es gilt:

$$E_{n}^{fin}<E_{n}^{inf}$$ (35)